Per poter "loggare" un messaggio nella console del browser durante il ciclo di vita di una applicazione SharePoint Framework (SPFx) bisogna prima importare la classe Log:
import { Log } from '@microsoft/sp-core-library';

//definisco una costante per la sorgente dei log
const SOURCE_LOG = "SgartSpfxApp";

poi posso usare uno dei 4 metodi messi a disposizione:
Log.verbose(SOURCE_LOG, "Messaggio 'verbose'.", this.context.serviceScope);

Log.info(SOURCE_LOG , "Messaggio 'info'.", this.context.serviceScope);

Log.warn(SOURCE_LOG , "Messaggio 'warnong'.", this.context.serviceScope);

Log.error(SOURCE_LOG, new Error("Questo è un errore"), this.context.serviceScope);
L'ultimo parametro this.context.serviceScope è opzionale
Di base il Log scrive nella console solo nel workbench locale (https://localhost:4321/temp/workbench.html ).
Sull'online non c'è associato un handler predefinito quindi le scritture non vengono redirette sulla console (perchè???) e vanno perse. Puoi trovare un implementazione di un custom handler che scrive in console a questo link Logging in SharePoint Framework solutions

Vedi anche Working with the Logging API